Alice Project :: 리뷰 : Rudin의 Analysis 시리즈, 그와 관련된 추천 책들

오늘은 Rudin 할아버지의 해석학 시리즈를 살펴봅시다.

1. Principles of Mathematical Analysis

루딘의 책이 다 그렇다시피 한 손에 잡히는 작은 크기입니다. 352쪽입니다.

깔끔하게 조판되어 있어 가독성이 좋습니다. 목차는 다음과 같습니다.

1. The Real and Complex Number System
2. Basic Topology
3. Numercial Sequences and Series
4. Contunity
5. Differentiation
6. The Riemann-Stieltjes Integral
7. Sequences and Series of Functions
8. Some Special Functions
9. Functions of Several Variables
10. Integration of Differential Forms
11. The Lebesgue Theory

학부 2~3학년 수준입니다. 해석학의 여러 가지 내용이 빠짐 없이 잘 나와 있어 좋습니다. 그러나 증명이 무척 간결하고 생략된 부분이 많아 해석학을 처음 공부하는 사람이 보기에는 어려운 편입니다. 10장은 미분형식이 나와 있는데 추상적인 내용을 너무 간략하게 설명한 경향이 있습니다.
11장은 측도론과 르벡적분에 관련된 내용입니다. 본래 측도론은 따로 책 한 권이 될만큼 양이 많으나 여기서는 학부 3학년 수준에서 살펴볼만큼 정도로 나와 있습니다.

2. Real and Complex Analysis

실해석(측도론, 르벡적분), 복소해석, 기초 함수해석에 관련된 내용을 담은 책입니다. 조판 상태 좋습니다. 430쪽입니다.

목차
1. Abstract Integration
2. Positive Borel Measure
3. Lp-spaces
4. Elementary Hilbert Space Theory
5. Examples of Banach Space Techniques
6. Comples Measures
7. Differentiation
8. Integration on Product Spaces
9. Fourier Transforms
10. Elementary Properties of Holomorphic Functions
11. Harmonic Functions
12. The Maximum Modulus Principles
13. Approximation by Rational Functions
14. Conformal Mapping
15. Zeros of Holomorphic Functions
16. Analytic Continuation
17. Hp-Spaces
18. Elementary Theory of Banach Algebras
19. Holomorphic Fourier Transforms
20. Uniform Approximation by Polynomials

학부 3학년~석사 1학년 정도의 수준입니다. 첫 장은 설명이 쉽고 자세히 나와있는가 하더니, 두 번째 장부터 역시나 설명이 간결하고 추상적입니다. 10장부터 본격적으로 복소해석이 시작되는데, 우리 나라의 학부 과정에서 배우는 복소해석은 이 책의 10, 11, 12, 14장 정도에 해당합니다.

3. Functional Analysis

함수해석의 여러 가지 내용을 담고 있는 책입니다. 조판 상태 좋습니다. 442쪽이고 하드 커버입니다.

목차
I. General Theory
....1. Topological Vector Spaces
....2. Completeness
....3. Convexity
....4. Duality in Banach Spaces
....5. Some Applications
II. Distributions and Fourier Transforms
....6. Test Functions and Distributions
....7. Fourier Transforms
....8. Applications to Differential Equations
....9. Tauberian Theory
III. Banach Algebra and Spectral Theory
....10. Banach Algebras
....11. Commutative Banach Algebras
....12. Bounded Operators on a Hilbert Space
....13. Unbounded Operators

석사 과정과 박사 과정에서 함수 해석을 공부할 때 볼만한 수준의 책입니다. 위상수학, 측도론, 다변수 해석 등에 관한 기초가 튼튼해야 이 책을 볼 수 있습니다.

엘리스의 의견

루딘의 해석학 책 3종 시리즈는 아주 오랫동안 세계의 수많은 대학에서 해석학 교재로 사용되어 왔습니다. 세 권의 책이 학부 과정과 석사 과정에서 공부하는 해석학의 중요한 내용을 잘 담고 있으며 모두 일관성 있게 내용을 전개하고 있어서 순서대로 세 권의 책을 제대로 공부하면 매우 큰 도움이 될 것입니다.

그러나 각 분야를 처음 공부하는 사람이 혼자서 이 책을 보고 공부하는 것은 무리가 있습니다. 따라서 쉬운 책을 먼저 본 뒤에 루딘의 책으로 실력을 다지면 좋을 것입니다.